[SISTEM PERSAMAAN LINEAR] ELEMINASI GAUSS JORDAN

METODE ELEMINASI GAUSS JORDAN 

    Metode ini merupakan pengembangan  metode eleminasi Gauss, hanya saja augmented matrik yang pada metode Eleminasi Gauss diubah menjadi matrik segitiga, pada metode Eliminasi Gauss Jordan diubah menjadi matrik diagonal. 

Sistem Persamaan Linear

    Di dalam matematika, sistem persamaan linier  adalah kumpulan persamaan-persamaan linier  yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:

Bila semua b1, b2, b3 ….bn = 0 maka sistem persamaan (1) dinamakan sistem persamaan yang homogen , begitu sebaliknya jika b1, b2, b3 ….bn ≠ 0 disebut persamaan non homogen

 

Contoh :

→→→→→→→→→↦→→→→→→⇾

Sistem Persamaan Linear - Eleminasi Gauss

Sistem Persamaan Linear - Eleminasi Gauss

        Untuk menyesuaikan Sistem Persamaan Linear dengan Eleminasi Gauss Jordan pada matriks menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE). Adapun yang dapat dilakukan pada OBE adalah :

1. Melakukan pertukaran baris (Bi⇔Bj)
2. Mengalikan baris dengan konstanta dan konstanta tidak boleh 0 (nol) (kBi→Bi)
3. Mengalikan baris dengan konstanta dan menambahkan dengan baris lainnya (kRi + Rj → Rj)

Contoh Kasus

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut dan selesaikan menggunakan matriks

x + y +2z = 9

2x + 4y - 3z = 1

3x + 6y - 5z = 0

Sistem persamaan linear diatas huruf di rubah dahulu kedalam bentuk matriks

[1    1    2]    9

[2    4    -3]    1

[3    6    -5]    0

Contoh Solusi(pemecahan) yang akan didapat :

Contoh 1 (Solusi Tunggal)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$2x+5y+3z =1$
$3x+4y+2z=-3$
$x+3y+z=2$

Perintah : Tentukan pemecahan sistem persamaan linear di atas dengan  metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Mula-mula kita representasikan sistem tersebut kedalam bentuk matriks.

$\left[{\begin{array}{ccc}2&5&3\\3&4&2\\1&3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}}\right]$

Langkah 1

Kita akan membuat 1 pertama pada baris pertama dengan beberapa pilihan operasi :

1. Kita bisa menukar baris ke-1 dengan baris ke-3, dinotasikan $R_{1} \leftrightarrow R_{3}$
2. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan $\frac{1}{2}$ dinotasikan : $\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}$

Dari dua pilihan diatas kita bebas memilihnya, namun kita akan menggunakan pilihan yang pertama yaitu $R_{1} \leftrightarrow R_{3}$ sehingga didapat :

$\left[{\begin{array}{ccc}2&5&3\\3&4&2\\1&3&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}1\\-3\\2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&4&2\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-3\\1\end{array}}\right]$

Langkah 2

Selanjutnya kita akan menyederhanakan bentuk baris ke-2 dan ke-3 sekaligus yaitu dengan operasi $-3R_{1}+R_{2}\leftarrow R_{2}$ sehingga didapat :

$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&4&2\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-3\\1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\1\end{array}}\right]$

Kemudian dilanjut dengan operasi $-2R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}$

$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\2&5&3\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\1\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\-3\end{array}}\right]$

Langkah 3

Kita akan membuat 1 pertama pada baris kedua dengan operasi $-6R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}$ dan diperoleh :

$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&-5&-1\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-9\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-3\end{array}}\right]$

Langkah 4

Kita akan menyederhanakan lagi baris ke-3 dengan operasi $1R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}$

$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&-1&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\6\end{array}}\right]$

Langkah 5

Selanjutnya kita akan membentuk 1 pertama pada baris ke-3 dengan operasi $-\frac{1}{6}R_{3}\rightarrow R_{3}$

$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\6\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-1\end{array}}\right]$

Dari matriks terakhir tersebut sudah memenuhi ketiga kriteria bentuk eselon baris. Selanjutnya tinggal mengubahnya kembali menjadi sistem persamaan linear :

$\left[{\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-7\\0&0&1\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\9\\-1\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x+3y+z=2\dots\text{(1)}\\y-7z=9\dots\text{(2)}\\z=-1\dots\text{(3)}\end{array}$

Kita dapat memulai dengan mensubstitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) sehingga didapat :

$y-7z=9$

$\Leftrightarrow y=9+7z=9+7(-1)=2$

Kemudian nilai dari $y$ dan $z$ juga kita substitusikan ke persamaan (1) dan kita dapatkan :

$x+3y+z=2$

$\Leftrightarrow x=2-3y-z$

$\Leftrightarrow x=2-3(2)-(-1)=-3$

Jadi didapat solusi tunggal yaitu $x=-3, y=2$ dan $z=-1$.

Contoh 2 (Banyak Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$2x+10y+4z =-2$
$x+4y+5z=-3$
$3x+15y+6z=-3$

Perintah : Tentukan pemecahan sistem persamaan linear di atas dengan  metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Kita representasikan kedalam bentuk matriks :

$\left[{\begin{array}{ccc}2&10&4\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-2\\-3\\-3\end{array}}\right]$

Langkah 1

Kita buat 1 pertama pada baris pertama dengan pilihan :

1. Dengan menukar baris ke-1 dengan baris ke-2, dinotasikan : $R_{1} \leftrightarrow R_{2}$
2. Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan $\frac{1}{2}$, dinotasikan : $\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}$

Kita pilih opsi kedua yaitu menggunakan operasi $\frac{1}{2}R_{1} \rightarrow R_{1}$ sehingga kita peroleh :

$\left[{\begin{array}{ccc}2&10&4\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-2\\-3\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-3\\-3\end{array}}\right]$

Langkah 2

Kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi $-1R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}$

$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\1&4&5\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-3\\-3\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\-3\end{array}}\right]$

Dilanjut penyederhanaan baris ke-3 dengan operasi $-3R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}$

$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\3&15&6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\-3\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\0\end{array}}\right]$

Langkah 3

Kita buat 1 pertama pada baris ke-2 dengan operasi $-1R_{2}\rightarrow R_{2}$

$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&-1&3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\-2\\0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&1&-3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\2\\0\end{array}}\right]$

Matriks terakhir sudah memenuhi bentuk eselon baris sehingga selanjutnya menggunakan metode substitusi balik, namun sebelumnya kita harus mengubahnya kembali menjadi bentuk sistem persamaan linear.

$\left[{\begin{array}{ccc}1&5&2\\0&1&-3\\0&0&0\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}-1\\2\\0\end{array}}\right]\rightarrow\begin{array}{c}x+5y+2z=-1\dots(1)\\y-3z=2\dots(2)\end{array}$

Perhatikan persamaan (2) :

$y-3z=2\Leftrightarrow y=2+3z$

Subtitusikan ke persamaan (1) dan diperoleh :

$x+5y+2z=-1$

$\Leftrightarrow x=-1-5y-2z$

$\Leftrightarrow x=-1-5(2+3z)-2z$

$\Leftrightarrow x=-1-10-15z-2z$

$\Leftrightarrow x=-11-17z$

Jelaslah pemecahannya banyak karena nilai dari $z$ sendiri mempunyai tak terhingga banyaknya kemungkinan. Jadi himpunan penyelesaiannya yaitu :

$\text{HP}=\{(x,y,z)\mid x=-11-17z,~y=2+3z,~\forall~\text{sebarang bilangan}~z\}$

Contoh 3 (Tidak Punya Solusi)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$3x+12y+15z=6$
$2x+8y+10z=-6$
$4x+5y-6z =-2$

Perintah : Tentukan pemecahan (bila ada) dari sistem persamaan linear di atas dengan  metode eliminasi gauss.

Penyelesaian :

Seperti biasa kita representasikan dulu ke dalam bentuk matriks.

$\left[{\begin{array}{ccc}3&12&15\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}6\\-6\\-2\end{array}}\right]$

Langkah 1

Kita buat 1 pertama pada baris pertama dengan operasi $\frac{1}{3}R_{1} \rightarrow R_{1}$

$\left[{\begin{array}{ccc}3&12&15\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}6\\-6\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-6\\-2\end{array}}\right]$

Langkah 2

Selanjutnya kita sederhanakan baris ke-2 dengan operasi $-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}$ dan diperoleh :

$\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\2&8&10\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-6\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\0&0&0\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-10\\-2\end{array}}\right]$

Perhatikan matriks terakhir diatas, kita coba ubah kembali menjadi bentuk sistem persamaan linear.

$\left[{\begin{array}{ccc}1&4&5\\0&0&0\\4&5&-6\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}2\\-10\\-2\end{array}}\right]\rightarrow\begin{array}{c}x+4y+5z=2\dots(1)\\(0)x+(0)y+(0)z=-10\dots(2)\\4x+5y-6z=-2\dots(3)\end{array}$

Kita tahu untuk sembarang bilangan $x, y, z$ bila dikalikan 0 akan menghasilkan 0 sehingga :

$(0)x+(0)y+(0)z =0$

Karena kontradiksi (berlawanan) dengan pernyataan persamaan (2), akibatnya persamaan (2) tidak mempunyai solusi. Karena persamaan (2) bagian dari sistem persamaan linear tersebut maka sistem persamaan linear tersebut juga tidak punya solusi.