METODE CROUT
Dekomposisi (faktorisasi) merupakan salah satu solusi yang digunakan pada
matriks untuk menyelesaikan permasalahan Sistem Persamaan Linear AX = B.
Dekomposisi matriks menguraikan matriks Non-Singular menjadi 2 bagian, yaitu
Matriks Segitiga Bawah [L] (Lower) dan Matriks Segitiga Atas [U] (Upper).
Dekomposisi Matriks
Dekomposisi matriks pada penyelesaian Sistem Persamaan Linear memiliki
langkah umum :
Bentuk Matriks L dan U dari [A]
Pecahkan Ly = B [Hitung dengan subtitusi maju]
Pecahkan Ux = Y [Hitung dengan subtitusi mundur]
Adapun pada dekomposisi matriks terdapat 2 metode untuk penyelesaiannya, yaitu
Metode Crout
Metode Doolittle
Metode crout pada dekomposisi dapat diselesaikan dengan terlebih dahulu
mencari bentuk matriks dekomposisinya Ly = B dan Ux = Y. Kemudian mencari
nilai Y dan X untuk memenuhi persamaan. Pada proses Metode Crout ada
beberapa iterasi yang dilakukan untuk mencari nilai pada matriks Ly = B dan Ux =
Y.
l11 0 0 ... 0 y1 b1
l21 l22 0 ... 0 y2 b2
LY = B ==> l31 l32 l33 ... 0 y3 = b3
... ... ... ... ... ... ...
ln1 ln2 ln3 ... lnn yn bn
1 u12 u13 ... u1n x1 y1
0 l u23 ... u2n x2 y2
UX = Y ==> 0 0 1 ... u3n x3 = y3
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1 xn yn
Dekomposisi Matriks - METODE CROUT
Terdapat beberapa Iterasi yang dilakukan untuk mencari nilai pada matriks L dan
U. Sebagai contoh :
Dekomposisi Matriks - METODE CROUT
Kemudian, setelah didapat matriks dekomposisi L dan U. Selanjutnya mencari
nilai Y dan X
Y1 = b1
l11
Y2 =b2 −l21y1
l22
Y3 =b3 −l31y1 − l32y2
l33
X3 = y3
X2 = y2 – u23x3
X1 = y1 – u12x2 – u13x3
Langkah-langkah yang harus dilakukan pada Metode Reduksi Crout adalah :
- Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memasukkan ke-empat persamaan diatas ke dalam Matriks, dimana Matriksnya ber-orde 4x4.
- Sehingga didapatlah nilai X1 = 2, X2 = -2, X3 = 3, dan X4 = -1. Dengan menggunakan Metode Reduksi Crout kita langsung mendapatkan nilai X1, X2, X3 dan X4 nya dengan memasukkan rumus yang didapat dari persamaan Matriks A = [L].[U].
METODE DOOLITTLE
Dekomposisi (faktorisasi) merupakan salah satu solusi yang digunakan pada
matriks untuk menyelesaikan permasalahan Sistem Persamaan Linear AX = B.
Dekomposisi matriks menguraikan matriks Non-Singular menjadi 2 bagian, yaitu
Matriks Segitiga Bawah [L] (Lower) dan Matriks Segitiga Atas [U] (Upper).
Dekomposisi Matriks
Dekomposisi matriks pada penyelesaian Sistem Persamaan Linear memiliki
langkah umum :
Bentuk Matriks L dan U dari [A]
Pecahkan Ly = B [Hitung dengan subtitusi maju]
Pecahkan Ux = Y [Hitung dengan subtitusi mundur]
Adapun pada dekomposisi matriks terdapat 2 metode untuk penyelesaiannya, yaitu
Metode Crout
Metode Doolittle
Metode doolittle pada dekomposisi dapat diselesaikan dengan terlebih dahulu
mencari bentuk matriks dekomposisinya Ly = B dan Ux = Y. Kemudian mencari
nilai Y dan X untuk memenuhi persamaan. Pada proses Metode Doolittle ada
beberapa iterasi yang dilakukan untuk mencari nilai pada matriks Ly = B dan Ux =
Y.
l11 0 0 ... 0 y1 b1
l21 l22 0 ... 0 y2 b2
LY = B ==> l31 l32 l33 ... 0 y3 = b3
... ... ... ... ... ... ...
ln1 ln2 ln3 ... lnn yn bn
1 u12 u13 ... u1n x1 y1
0 l u23 ... u2n x2 y2
UX = Y ==> 0 0 1 ... u3n x3 = y3
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1 xn yn
Dekomposisi Matriks - METODE CROUT
Terdapat beberapa Iterasi yang dilakukan untuk mencari nilai pada matriks L dan
U. Sebagai contoh :
Kemudian, setelah didapat matriks dekomposisi L dan U. Selanjutnya mencari
nilai Y dan X
Y1 = b1
Y2 = b2 − l21y1
Y3 = b3 – l31y1 – l32y2
X3 = y3
u33
X2 = y2 − u23x3
u22
X1 = y1 − u12x2 −u13x3
u11
Untuk menghitung setiap komponen matriks L dan U dari matriks A dengan ukuran n x ndapat dengan menggunakan algoritma sebagai berikut:1. Dapatkan nilai matriks U pada baris pertama: untuk i = 1 sampai n
2. Hitung nilai: untuk i=2 sampai n
3. untuk i = 2 sampai n-1
untuk j = i + 1 sampai n 
4. Hitung indeks terakhir:
Proses dekomposisi selesai sampai disini, proses berikutnya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier nya.Dari dekomposisi berikut: Matriks L dan U sudah kita dapatkan, dan dengan memisalkan:
maka
untuk mendapatkan nilai vektor y dapat dilakukan dengan substitusi maju sebagai berikut:
untuk i=2 sampai n
nilai vektor x didapatkan dengan melakukan substitusi mundur persamaan:
dengan cara:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar